Whatsapp icon Whatsapp

Progressão

No Ensino Médio, são estudados dois tipos de progressão: aritmética (PA) e a geométrica (PG).
Ao subirmos uma escada, temos a ideia da progressão de uma sequência, visto que um degrau é dado após o outro
Ao subirmos uma escada, temos a ideia da progressão de uma sequência, visto que um degrau é dado após o outro

A ideia de progressão está relacionada com avanço e sucessão. Na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. Ela sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula matemática.

No Ensino Médio, estudamos dois tipos de progressão, a aritmética e a geométrica.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

♦ Progressão Aritmética

Na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. Para determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula:

an = a1 + (n – 1) . r

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo
n = posição do termo na sequência
r= razão

Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n primeiro termos, que é a seguinte:

Sn= n . (a1 + an)
          2

Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA
n = posição do termo na sequência
a1 = primeiro termo da sequência
an = n-ésimo termo da sequência

Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule a soma dos 20 primeiros termos.

Dados:

a1 = 1

r = 2 → Para descobrir r, observe a progressão. O próximo número é sempre o anterior mais 2: 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5 …

n = 20

a20 = ?

Resolução:

an = a1 + (n – 1) . r

a20 = 1 + (20 – 1) . 2

a20 = 1 + (19) . 2

a20 = 1 + 38

a20 = 39

O vigésimo termo da sequência é o número 39.

Sn= n . ( a1 + an )
                 2

S20 = 20 . ( 1 + 39 )
                     2

S20 = 20 . ( 40)
                  2

S20 = 20 . 20

S20 = 400

A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400.

♦ Progressão Geométrica

Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como qualquer sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é dada por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a fórmula:

an = a1 . qn – 1

an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo da sequência

Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros termos, que é dada por:

Sn = a1 . (qn 1)
         q - 1

Sn = soma dos n primeiros termos de um PG
a1 = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo na sequência

Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 54...) e, em seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos.

Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, efetue as divisões:
6 = 3
2

18 = 3
 6

54 = 3
18

Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a1 = 2 e n = 6, substitua os valores na fórmula:

a6 = a1 . qn – 1

a6 = 2 . ( 3)6 -1

a6 = 2 . (3)5

a6 = 2 . 243

a6 = 486

O sexto termo da PG é o número 486. Vamos agora calcular a soma dos seis primeiros termos da sequência.

Sn = a1 . (qn - 1)
              q – 1

Sn = 2 . (36 - 1)
           3 – 1

Sn = 2 . (729 - 1)
            3 – 1

Sn = 2 . (728)
             2

Sn = 1456
          2

Sn = 728

A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728.

Publicado por Naysa Crystine Nogueira Oliveira
Assista às nossas videoaulas

Artigos de Progressão

Classificação da Progressão Aritmética
Vamos verificar como uma sequência numérica e progressões podem ser determinadas? Clique aqui!
Fórmula do termo geral de uma PA
Aprenda a calcular o termo geral de uma PA usando uma fórmula que exige apenas seu primeiro termo e a razão.
Interpolando Termos em uma P.A.
Introduzindo meios em uma P.A.
Notação especial da progressão aritmética
: Definição de Progressão Aritmética, Identificação de P.A, Construção de P.A, Estudo e cálculos do termo geral de uma P.A, Notações Especiais, identificação da razão de uma P.A.
Praticando Progressões
Exemplos resolvidos sobre progressões.
Produto dos termos de uma PG finita
Você sabe como calcular o produto dos termos de uma (PG) finita? Conheça a fórmula usada nesse tipo de operação com progressões geométricas e aprenda também uma maneira fácil de demonstrar esse cálculo, que pode ainda ser usado para chegar à fórmula geral do produto dos termos. Clique e saiba mais sobre esse tema!
Progressão aritmética
Conheça as propriedades da progressão aritmética e aprenda a classificá-la. Entenda o cálculo do termo geral de uma P.A. e a soma geral de uma progressão aritmética.
Progressão geométrica
Reconheça uma progressão geométrica, aprenda as suas propriedades e classificação, entenda como encontrar o termo geral e como calcular a soma dos termos de uma PG.
Propriedade dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG finita
Seqüência, Progressão, Seqüencia numérica, Progressão geométrica, O que é uma progressão geométrica, Como identificar uma PG, Termos de uma PG, Razão de uma PG, Termo geral de uma PG, Propriedade dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG finita.
Representação genérica de uma P.A
Uma forma de facilitar a resolução de problemas envolvendo progressão aritmética
Representação genérica de uma P.G
Definição de Progressão geométrica, Identificação de P.G, Construção de P.G, Estudo e cálculos do termo geral de uma P.G, Notações Especiais, identificação da razão de uma P.G., PG de três elementos, PG de quatro elementos.
Sequência numérica
Aprenda o que é uma sequência numérica. Entenda quando ocorrem as sequências crescente, decrescente, oscilante ou constante. Conheça a lei de formação da sequência.
Soma de Gauss
Você sabe como somar todos os números de 1 a 100? Veja a Soma de Gauss e faça esse cálculo rapidamente.
Soma dos infinitos termos de uma P.G
Sequências geométricas infinitas.
Soma dos termos de uma P.G finita
Definição de Progressão Geométrica, Identificando uma P.G, Classificação de P.Q, Termo Geral de uma P.G, Cálculo dos elementos de uma P.G, Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Soma dos termos de uma PA
Aprenda a calcular a soma dos termos de uma PA por meio de uma fórmula, o modo como ela foi idealizada e as implicações desse fato na sua criação.
Soma dos termos de uma PG infinita
Clique e aprenda a calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) infinita. Veja, por meio de exercícios resolvidos e comentados, como esse conteúdo pode ser cobrado em vestibulares e no Enem. Aprenda também a usar a fórmula do termo geral da PG para encontrar informações não explícitas em exercícios.
Termo geral da PG
Clique para aprender a encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica usando a fórmula do termo geral da PG. Aprenda também uma maneira de determinar essa fórmula com base na análise dos termos de uma PG. Veja algumas definições básicas envolvendo progressões geométricas e obtenha exemplos comentados.
Trabalhando ao mesmo tempo P.A e P.G.
Definição de Progressão Aritmética, Identificação de P.A, Construção de P.A, Estudo e cálculos do termo geral de uma P.A, Notações Especiais, Chave e Descrição: Definição de Progressão Geométrica, Identificando um P.G
Três erros mais cometidos em progressões no Enem
Clique e veja os três erros mais cometidos em progressões no Enem. Saiba formas de evitar esses erros e aumente suas chances de tirar boas notas no exame. Veja as fórmulas mais usadas no cálculo de progressões geométricas e aritméticas e obtenha um exemplo de exercício onde as PAs estão escondidas em sequências comuns.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.